Compréhension approfondie des champs vectoriels

11/04/2024

Cet article a pour vocation de vous aider à comprendre et, peut-être, à développer de l'intuition mathématique pour ce sujet. Il ne remplace pas les cours d'un(e) professeur(e), et il peut être sujet à des erreurs.

Dans le cadre de cette explication, il est préférable de connaître au préalable les notions suivantes :

Les scalaires
Les vecteurs.

I - Notion de champ en mathématiques

Un champ est une grandeur qui dépend de la position dans l'espace

C'est donc une fonction qui à un point de l'espace retourne une grandeur.

II - Les champs scalaires

II.1 - Définition

Afin de bien comprendre les champs vectoriels, il nous faut comprendre les champs scalaires. Un champ de scalaires peut être définit par une fonction qui à chaque point de l'espace associe un scalaire.

II.2 - Un exemple

Imaginez une barre en métal que l'on aurait fait chauffer en son centre :

Si on relevait la température de la barre en plusieurs points, on obtiendrait un champ de scalaires de la température :

On peut appeler ce champ par exemple $T$ , et ainsi, on obtiendrait la fonction suivante : $T(x, y) = t$ , avec $t$ la température au point (x, y).

Dans cette illustration, on aurait par exemple $T(1, 1) \gt T(3, 2)$ .

III - Les champs vectoriels

III.1 - Définition

Un champ vectoriel, ou champ de vecteurs, est simplement un champ qui à chaque point de l'espace associe un vecteur. En le notant $\vec{F}$ , on obtient la fonction mathématique suivante :

$\vec{F}(x, y) = \begin{bmatrix} F_x(x, y) \\ F_y(x, y) \end{bmatrix} = F_x(x, y) \vec{i} + F_y(x, y) \vec{j}$

Étudions par exemple le point $(3, 3)$ . En $(3, 3)$ , le champ vectoriel se présente de la sorte :

On peut généraliser les champs vectoriels en les passant en 3 dimensions, on aura dans ce cas-là :

$\vec{F}(x, y, z) = \begin{bmatrix} F_x(x, y, z) \\ F_y(x, y, z) \\ F_z(x, y, z) \end{bmatrix} = F_x(x, y, z) \vec{i} + F_y(x, y, z) \vec{j} + F_z(x, y, z) \vec{k}$

III.2 - Comprendre la dépendance spatiale des composantes

Il faut bien comprendre que chacune des composantes d'un champ vectoriel en un point dépendent des $2$ (ou $3$ ) composantes de l'espace. Prenons un exemple :

$\vec{F}(x, y) = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x \vec{i} + y \vec{j}$

Dans cet exemple, nous avons $F_x(x, y) = x$ et $F_y(x, y) = y$ . On remarque effectivement que si l'on fixe l'axe des ordonnées et que l'on se déplace le long de l'axe des abscisses, la composante $F_x$ augmente lorsque $x$ augmente.

Idem si l'on fixe $x$ et que l'on se déplace selon l'axe des ordonnées.

L'idée ici est d'avoir une vision de ce que représente concrètement la dépendance spatiale des composantes des vecteurs du champ $\vec{F}$ (comprendre cela est important si l'on veut comprendre les opérateurs vectoriels comme le gradient, la divergence, le rotationnel ou même le laplacien).

III.3 - Les applications des champs vectoriels

Les champs vectoriels sont des applications très importantes, en physique particulièrement. On les retrouve en mécanique des fluides, en électromagnétisme, en météorologie, en mécanique classique etc.